J'ai trouvé la réponse à ma question, à la lecture de ce petit livre :
Après bien des péripéties (le voyage de Londres à Istanbul a duré de Février à Août 1599), l'orgue a été joué pour la première fois devant le Sultan Mehmet III en Septembre 1599. Il a été tellement enchanté du résultat qu'il a voulu que le facteur d'orgue, Robert Dallam, reste à demeure à Istanbul. Son départ de Turquie a été des plus mouvementés...
A la vue du récit, M. Richaud n'a plus le droit de se plaindre de tous les malheurs qu'il a a subir quand il va sur ses chantiers...
Je traduis la fin du livre, qui répond à la question du devenir de l'orgue :
"Le Sultan Mehmet III est mort en 1603. Son fils de 13 ans Ahmet I lui a succédé; sa mère, d'origine grecque, a été co-régente jusqu'à ce qu'il atteigne l'âge de 15 ans. Fervent musulman, Ahmet a fait ériger la Mosquée qui porte son nom, connue sous le nom de Mosquée Bleue. Il a aussi démontré sa ferveur religieuse dans son aversion pour toute représentation d'êtres vivants [NdT : l'orgue comprenait des statues, dont celle de la Reine Elizabeth I ainsi que des oiseaux]. Il a doncpersonnellement détruit l'orgue de Dallam, selon des récits convergents de l'époque. Pour ce faire il a utilisé une masse d'armes, et ordonné que les débris soient ensuite brûlés. Le cadeau (fait au Sultan) aura donc vécu environ 5 ans."
L'histoire est parfois cruelle : par la suite nombre d'instruments de Robert Dallam subiront un sort similaire, mais cette fois-ci chez lui, en Angleterre. Presque tous seront massacrés par les troupes de Cromwell lors de la période troublée du Commonwealth...